米小游拿到了一个数组a，她用这个数组构造一个新数组b，其中ai代表b数组中有ai个i。
例如，若a = [2,3,1]，那么b = [1,1,2,2,2,3]，因为a1=2，代表b 数组中有2个1；a2=3，代表b数组中有3个2；a3 = 1，代表b数组中有1个3。
现在给定a数组，你需要帮米小游求出b数组中所有连续子数组的极差之和。由于答案可能过大，请对10^9+7 取模。
数组的极差指最大值减去最小值。
输入描述第一行输入一个正整数n，代表a数组的元素数量。
第二行输入n 个正整数ai，代表a数组的元素。
1 ≤ n ≤ 10^5 1 ≤ ai ≤ 10^9 输出描述一个整数，代表数组中所有区间的极差之和，对10^9+7取模的值。
示例 输入 2 2 1 输出 2 说明a=[2,1]时，b数组为[1,1,2]。
此时b数组共有6个连续子数组：
[1]的极差为0。
[1]的极差为0。
[2]的极差为0。
[1,1]的极差为0。
[1,2]的极差为1。
[1,1,2]的极差为1。
因此答案是0+0+0+0+1+1=2。
根据数据范围大小，显然不能将a数组展开回b数组求解，而应该直接从a数组出发解决问题。
注意到b数组实际上是一个单调非递减数组，其子数组也一定单调非递减数组。当子数组的最大值和最小值不相等（即最后一个元素和第一个元素）时，该子数组才对极差有贡献。
对于任意的两元组 ( i , j ) (i, j) (i,j)满足 1 < = i < j < = n 1 <= i < j <= n 1<=i
如果直接对上式进行求和计算，需要使用双重循环，时间复杂度为O(n^2)，会出现部分用例超时的情况。故需要对上述式子进行恒等变换，再观察是否有降低复杂度的做法。
∑ i = 1 n ∑ j = i + 1 n ( j − i ) a j a i = ∑ i = 1 n a i ⋅ ∑ j = i + 1 n ( j − i ) a j = ∑ i = 1 n a i ⋅ ∑ j = i + 1 n ( j a j − i a j ) = ∑ i = 1 n a i ⋅ ( ∑ j = i + 1 n j a j − ∑ j = i + 1 n i a j ) \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i+1}^{n}(j-i)a_ja_i = \\ \sum_{i=1}^{n}a_i ·\sum_{j=i+1}^{n}(j-i)a_j = \\ \sum_{i=1}^{n}a_i ·\sum_{j=i+1}^{n}(ja_j-ia_j) = \\ \sum_{i=1}^{n}a_i ·(\sum_{j=i+1}^{n}ja_j-\sum_{j=i+1}^{n}ia_j) i=1∑nj=i+1∑n(j−i)ajai=i=1∑nai⋅j=i+1∑n(j−i)aj=i=1∑nai⋅j=i+1∑n(jaj−iaj)=i=1∑nai⋅(j=i+1∑njaj−j=i+1∑niaj)
在最终的结果中，可以看出对于每一个i，其极差的情况都仅和j = i+1相关，对于式子中的两个与j相关的求和 ∑ j = i + 1 n j a j \sum_{j=i+1}^{n}ja_j j=i+1∑njaj和 ∑ j = i + 1 n a j \sum_{j=i+1}^{n}a_j j=i+1∑naj，我们可以用类似构建前缀和的方式，
令 P i = ∑ j = 1 i j a j P_i = \sum_{j=1}^{i}ja_j Pi=j=1∑ijaj，那么存在 ∑ j = i + 1 n j a j = ∑ j = 1 n j a j − ∑ j = 1 i j a j = P n − P i \sum_{j=i+1}^{n}ja_j = \sum_{j=1}^{n}ja_j - \sum_{j=1}^{i}ja_j = P_n-P_i j=i+1∑njaj=j=1∑njaj−j=1∑ijaj=Pn−Pi
令 Q i = ∑ j = 1 i a j Q_i = \sum_{j=1}^{i}a_j Qi=j=1∑iaj，那么存在 ∑ j = i + 1 n a j = ∑ j = 1 n a j − ∑ j = 1 i a j = Q n − Q i \sum_{j=i+1}^{n}a_j = \sum_{j=1}^{n}a_j - \sum_{j=1}^{i}a_j = Q_n-Q_i j=i+1∑naj=j=1∑naj−j=1∑iaj=Qn−Qi
在O(1)的时间复杂度下求得这两个式子的结果了。（PS：严谨来说，这应该叫做后缀和才比较合适
代码 Python # 题目：【前缀和】米哈游2023秋招-米小游的极差之和 # 作者：闭着眼睛学数理化 # 算法：前缀和 # 代码有看不懂的地方请直接在群上提问 from itertools import accumulate n = int(input()) a_list = list(map(int, input().split())) MOD = 10**9+7 # 分别构建p_list和q_list p_list = [0] + list(accumulate(i*ai for i, ai in enumerate(a_list, 1))) q_list = [0] + list(accumulate(ai for ai in a_list)) # 由于p_list和q_list的最后一个数需要反复用到，所以提前取出 pn = p_list[-1] qn = q_list[-1] ans = 0 # 遍历1到n的所有i，根据恒等式转换得到的结果进行计算 for i in range(1, n+1): # 注意这里i是从1开始，a_list中是从索引0开始的 # 故取ai时，对应的是a_list[i-1] ans += a_list[i-1]*(pn-p_list[i]-(qn-q_list[i])*i) ans %= MOD print(ans) Java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner sc = new Scanner(System.in); int n = sc.nextInt(); long[] aList = new long[n]; final long MOD = 1000000007; long ans = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { aList[i] = sc.nextLong(); } long[] pList = new long[n + 1]; long[] qList = new long[n + 1]; for (int i = 1; i <= n; i++) { pList[i] = pList[i - 1] + (long) i * aList[i - 1]; qList[i] = qList[i - 1] + aList[i - 1]; } long pn = pList[n]; long qn = qList[n]; for (int i = 1; i <= n; i++) { ans += aList[i - 1] * (pn - pList[i] - (qn - qList[i]) * i); ans %= MOD; } System.out.println(ans); } } C++ #include时间复杂度：O(N)。化简后，仅需一次遍历数组。
空间复杂度：O(N)。两个后缀和数组所占用空间。
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